Question

（2011•資陽一模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

取得最大值2，方程f（x）=0的兩個根為x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值為π．
（1）求f（x）；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的最大值為2，可得A=2，利用|x₁-x₂|的最小值為π，可知函數(shù)的周期為2π，從而求得ω的值，最后代入點（

π

6

，2）即可求得φ的值；
（2）先利用函數(shù)圖象的伸縮變換理論求得函數(shù)g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域即可

解答：解：（1）由題意A=2，函數(shù)f（x）最小正周期為2π，即

2π

ω

=2π，∴ω=1．
從而f（x）=2sin（x+φ），
∵f（

π

6

）=2，
∴sin（

π

6

+φ）=1，則

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，即φ=

π

3

+2kπ，k∈z
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

．
故f（x）=2sin（x+

π

3

）．
（2）函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=f（2x）的圖象，
即g（x）=2sin（2x+

π

3

），
當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
故函數(shù)g（x）的值域是[-1，2]．

點評：本題主要考查了函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，利用正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)求三角函數(shù)值域的方法，屬基礎(chǔ)題