Question

（2011•資陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對(duì)任意x∈R恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，作出函數(shù)f（x）的圖象，可知函數(shù)f（x）在x=-2處取得最小值1．
（Ⅱ）解一元二次不等式求得命題p：-3≤m≤1，求得命題q：m＜-

2

或m＞

2

．若p真q假，求得m的范圍；若p假q真，求得得m的范圍，再把這2個(gè)m的范圍取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x 得 f（x）=

-x-1 ，x＜-2 x+3 ，-2≤x≤ 1 2 5x+1 ，x＞ 1 2

，
作出函數(shù)f（x）的圖象，可知函數(shù)f（x）在x=-2處取得最小值為1．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
∴命題p：-3≤m≤1．（6分）
對(duì)于命題q，函數(shù)y=（m²-1）^x 是增函數(shù)，則m²-1＞1，即 m²＞2，
∴命題q：m＜-

2

 或m＞

2

．（8分）
由“p或q”為真，“p且q”為假可知有以下兩個(gè)情形：
若p真q假，則

-3≤m≤1 - 2 ≤m≤ 2

解得-

2

≤m≤1，（10分）
若p假q真，則

m＜-3，或m＞1 m＜- 2 ，或m＞ 2

 解得m＜-3或m＞

2

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3）∪[-

2

，1]∪（

2

，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶由絕對(duì)值的函數(shù)，一元二次不等式的解法，復(fù)合命題的真假，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．