Question

8．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4；若E為線段AC上的動點，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范圍是[-4，1]．

Answer 1

分析 利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$-4，求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$的范圍，可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范圍．

解答 解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，則cos∠CAB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，那么$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=AC•AB•cos∠CAB=$\sqrt{5}$•2•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=4；
若E為線段AC上的動點，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$-4；
當點E和點A重合時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$取得最小值為0，當點E和點C重合時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$取得最大值為$\sqrt{5}•\sqrt{5}$=5，
故$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$的取值范圍是[-4，1]，
故答案為：4；[-4，1]．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．