已知一個圓截y軸所得的弦長為2,被x軸分成的兩段弧長的比為3:1.
(1)設(shè)圓心(a,b),求實數(shù)a、b滿足的關(guān)系式;
(2)當圓心到直線l:x-2y=0的距離最小時,求圓的方程.
【答案】分析:(1)設(shè)出圓心P的坐標和半徑為r,根據(jù)圓被x軸分成的兩條弧之比得到|b|=r,兩邊平方得到一個關(guān)系式,記作①式,再根據(jù)弦長的一半,弦心距即為P的橫坐標的絕對值,及圓的半徑r,利用勾股定理列出另外一個關(guān)系式,記作②,兩式聯(lián)立消去r即可得到a與b滿足的關(guān)系式;
(2)先利用點到直線的距離公式表示出圓心P到直線l的距離d,兩邊平方后,根據(jù)基本不等式及(1)得出的a與b的關(guān)系式即可得到d的最小值,當且僅當a=b取等號,把a=b與(1)得出的關(guān)系式聯(lián)立組成方程組,求出方程組的解得到a與b的值,進而確定出圓心坐標和圓的半徑,寫出圓的標準方程即可.
解答:解:(1)設(shè)圓心P(a,b),半徑為r,則|b|=,2b2=r2,①…(3分)
又|a|2+1=r2,所以a2+1=r2,②
聯(lián)立①②消去r得:2b2=a2+1;…(6分)
(2)點P到直線x-2y=0的距離d=,
5d2=a2-4ab+4b2≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,…(9分)
所以,
所以,或,…(11分)
所以(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.…(13分)
點評:此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:垂徑定理,勾股定理,點到直線的距離公式,基本不等式以及圓的標準方程,當直線與圓相交時,常常由弦長的一半,圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決問題.
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(1)設(shè)圓心(a,b),求實數(shù)a、b滿足的關(guān)系式;
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已知一個圓截y軸所得的弦為2,被x軸分成的兩段弧長的比為3∶1.

(1)設(shè)圓心為(a,b),求實數(shù)a,b滿足的關(guān)系式;

(2)當圓心到直線lx-2y=0的距離最小時,求圓的方程.

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已知F1、F2為橢圓的焦點,P為橢圓上的任意一點,橢圓的離心率為.以P為圓心PF2長為半徑作圓P,當圓P與x軸相切時,截y軸所得弦長為
(1)求圓P方程和橢圓方程;
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