Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}$，若對任意的x∈R，不等式f（x）≤2m²-$\frac{7}{4}$m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，-\frac{1}{8}]$
• B． $（-∞，-\frac{1}{8}]∪[1，+∞）$
• C． [1，+∞）
• D． $[-\frac{1}{8}，\;1]$

Answer 1

分析 求出分段函數(shù)的最大值，把不等式f（x）≤2m²-$\frac{7}{4}$m恒成立轉(zhuǎn)化為2m²-$\frac{7}{4}$大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}$，
當x≤1時，f（x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$；
當x＞1時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$＜0．
則函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$．
則要使不等式f（x）≤2m²-$\frac{7}{4}$m恒成立，
則2m²-$\frac{7}{4}$m$≥\frac{1}{4}$恒成立，
即m≤-$\frac{1}{8}$或m≥1．
故選：B．

點評 本題考查了恒成立問題，訓(xùn)練了分段函數(shù)的最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查運算能力，是中檔題．