Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)方程f（x）=0有三個不等的正實(shí)數(shù)解時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

由題得：f′（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f′（x）=6（x-3）（x+1）．…（1分）
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞3．
所以f（x）在（-∞，-1）或（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=-1時，f（x）的最大值為f（-1）=18．
當(dāng)x=3時，f（x）的最小值為f（3）=-46．…（4分）
（Ⅱ）依題意：f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立．…（5分）
因x∈[1，2]，（3-x）＞0，
故a≤

3x-x2

3-x

=x在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1．…（8分）
（Ⅲ）顯然，x=3，x=a是極值點(diǎn)．
依題意，當(dāng)方程f（x）=0有三個不等的正實(shí)數(shù)解時，有：

a＞0 f(a)f(3)＜0

即

a＞0 (19a-27)(-a)(a-1)(a-8)＜0

…（12分）
所以：1＜a＜

27

19

或a＞8為所求．…（14分）