Question

若x、y、z均為實(shí)數(shù)，且a=x²-2y+，b=y²-2z+，c=z²-2x+，則a、b、c中是否至少有一個(gè)大于零？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：假設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0．
而a+b+c=x²-2y++y²-2z++z²-2x+=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∵π-3＞0，且無(wú)論x、y、z為何實(shí)數(shù)，
（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，
∴a+b+c＞0．這與a+b+c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一個(gè)大于0．
分析：由題設(shè)條件，本題是一個(gè)證明至少什么成立的問(wèn)題，若從正面來(lái)證，則需分成幾類(lèi)，故常采用反證法，a、b、c中至少有一個(gè)大于零對(duì)立面是沒(méi)有一個(gè)大于0．故可假設(shè)三者皆小于等于0推出矛盾來(lái)．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是不等式的證明，本題證明方法是反證法，其特征是先假設(shè)命題的否定成立，推證出矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立，得出原命題成立．反證法一般適合用來(lái)證明正面證明較麻煩，而其對(duì)立面包含情況較少的情況．