【題目】定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為,其中

(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>值域?yàn)?/span>寫出區(qū)間長(zhǎng)度的最大值；

(2)若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)已知求證:關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和為定值.

【答案】（1）；（2）；（3）定值為，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）令求得函數(shù)的零點(diǎn)，令，求得定義域區(qū)間長(zhǎng)度最大時(shí)的值.

（2）先求得不等式的解集，設(shè)不等式的解集為，根據(jù)的長(zhǎng)度為列不等式組，由此求得的取值范圍.

（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的形式，結(jié)合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進(jìn)而求得不等式解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和為定值.

（1）令，解得，此時(shí)為函數(shù)的最小值.令，解得，.故定義域區(qū)間長(zhǎng)度最大時(shí)，故區(qū)間的長(zhǎng)度為.

（2）由得，解得，記.設(shè)不等式的解集為，不等式組的解集為.

設(shè)不等式等價(jià)于，所以，，由于不等式組的解集的個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度和為，所以不等式組，當(dāng)是恒成立.

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，得.

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分離常數(shù)得恒成立. 當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以實(shí)數(shù).

（3）原不等式可化為

①.

令，其判別式，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，根據(jù)求根公式可求得.而，.

i)當(dāng)時(shí)，不等式①等價(jià)于，解得，即不等式①的解集為，區(qū)間長(zhǎng)度為.

ii)當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，所以.此時(shí)不等式①即，解得或，即不等式①的解集為，區(qū)間的長(zhǎng)度為.

綜上所述，關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，雙曲線過(guò)點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：點(diǎn)在以為直徑的圓上；

（3）在（2）的條件下，若直線交雙曲線于另一點(diǎn)，求的面積.

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【題目】為降低空氣污染，提高環(huán)境質(zhì)量，政府決定對(duì)汽車尾氣進(jìn)行整治.某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的汽車尾氣凈化器，為保證凈化器的質(zhì)量，分別從甲、乙兩種型號(hào)的凈化器中隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行產(chǎn)品性能質(zhì)量評(píng)估，評(píng)估綜合得分都在區(qū)間.已知評(píng)估綜合得分與產(chǎn)品等級(jí)如下表：

根據(jù)評(píng)估綜合得分，統(tǒng)計(jì)整理得到了甲型號(hào)的樣本頻數(shù)分布表和乙型號(hào)的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取一件，估計(jì)這件產(chǎn)品為二級(jí)品的概率；

（Ⅱ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取3件，設(shè)隨機(jī)變量為其中二級(jí)品的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請(qǐng)自定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩種型號(hào)汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較.

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【題目】已知橢圓： 的左，右焦點(diǎn)分別為，且與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)P（）在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)

(1)求橢圓的方程

(2)求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)R（）

(3)求面積的最大值

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【題目】已知為定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根、（），稱為的特征根.

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）已知為給定實(shí)數(shù)，求的表達(dá)式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，研究函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列與滿足.

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，求q的值，使數(shù)列也是等比數(shù)列；

（3）若且，數(shù)列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

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【題目】在四棱錐P—ABCD中，PAB為正三角形，四邊形ABCD為炬形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分別為PB，PC中點(diǎn).

（1）求證:MN//平面PAD;

（2）求二面角B—AM—C的大��；

（3）在BC上是否存在點(diǎn)E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.“”是“”的充分不必要條件

B.命題“若則”的逆否命題為真

C.命題“，”的否定是“，”

D.若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“”為真命題

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