Question

13．四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA．
（1）求直線BD與平面PCD所成的角；
（2）求平面PMD與平面ABCD所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知中PB⊥平面ABCD，CD⊥BC，我們結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及判定可得CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得面PBC⊥平面PCD，過B作BF⊥PC于F，連DF，易得∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角，解三角形BDF，即可求出直線BD與平面PCD所成的角的大小；
（2）分別延長PM，BA，設(shè)PM∩BA=G，連DG，過A作AN⊥DG于N，連MN，．則∠MNA是平面PMD與平面ABCD所成的二面角的平面角，解三角形MNA，即可求出平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的正切值．

解答 解：（1）如圖，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PB．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD、

過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角．
不妨設(shè)AB=2，則在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{2}$．
∵BD=2$\sqrt{2}$．
∴在Rt△BFD中，BF=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠BDF=$\frac{π}{6}$．
∴直線BD與平面PCD所成的角是$\frac{π}{6}$．
（2）如圖，

分別延長PM，BA，設(shè)PM∩BA=G，連DG，
則平面PMD∩平面ABCD=DG．
不妨設(shè)AB=2，
∵MA∥PB，PB=2MA，
∴GA=AB=2．
過A作AN⊥DG于N，連MN．
∵PB⊥平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，∴MN⊥DG．
∴∠MNA是平面PMD與平面ABCD
所成的二面角的平面角（銳角）．
在Rt△MAN中，
tan∠MNA=$\frac{MA}{NA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴平面PMD與平面ABCD所成的二面角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求示，直線與平面所成的角，其中在求線面夾角及二面角時，找出其平面角是解答此類問題的關(guān)鍵．