Question

4．某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力與技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）（x∈N^*）之間大體滿足如框圖所示的關(guān)系（注：次品率$P=\frac{次品數(shù)}{生產(chǎn)量}$，如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件次品，其余為合格品）．又已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A（元），但每生產(chǎn)一件次品將虧損$\frac{A}{2}$（元）．
（Ⅰ）求日盈利額T（元）與日產(chǎn)量x（件）（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）每天的贏利為T=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產(chǎn)量（x）×次品率（P）×虧損，整理即可得到；
（Ⅱ）當(dāng)x＞c時(shí)，每天的盈利額T=0；當(dāng)1≤c＜84時(shí)，利用基本不等式可得x=c時(shí)，等號(hào)成立，利潤(rùn)最大；當(dāng)84≤c＜96時(shí)，當(dāng)x=84時(shí)，利潤(rùn)最大．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)1≤x≤c時(shí)，T=（1-$\frac{1}{96-x}$）xA-$\frac{1}{96-x}$xA=[x-$\frac{3x}{2（96-x）}$]A，
當(dāng)x＞c時(shí)，T=$\frac{1}{3}$xA-$\frac{2}{3}$x$\frac{A}{2}$=0，
$T=\left\{\begin{array}{l}[x-\frac{3x}{2（96-x）}]A\\ 0\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{（1≤x≤c}&{x∈{N^*}）}\\{（x＞c}&{x∈{N^*}）}\end{array}$…3分
（Ⅱ）（1）當(dāng)x＞c時(shí)，每天的盈利額T=0；
（2）當(dāng)1≤x≤c且x∈N時(shí)，$T=[x-\frac{3x}{2（96-x）}]A$，
令96-x=t，則0＜96-c≤t≤95（t∈N），
可得：$T=[96-t-\frac{3}{2}•\frac{96-t}{2t}]•A=（\frac{195}{2}-t-\frac{144}{t}）A$，
令$g（t）=t+\frac{144}{t}$，
①當(dāng)1≤c＜84時(shí)，12＜96-c＜t≤95，g（t）在區(qū)間（12，95）為單增函數(shù)，
可得：$g{（t）_{min}}=g（96-c）=（96-c）+\frac{144}{96-c}$，$T≤[\frac{195}{2}-（96-C）-\frac{144}{96-C}]A=\frac{{189c-2{c^2}}}{192-2c}A＞0$（當(dāng)且僅當(dāng)x=c時(shí)取等號(hào)），
∴當(dāng)x=c時(shí)，Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A，…9分
②當(dāng)84≤c＜96時(shí)，$g（t）≥2\sqrt{t•\frac{144}{t}=}24$，$T≤（\frac{195}{2}-24）A=\frac{147}{2}A＞0$．
∴當(dāng)t=12即x=84時(shí)，Tmax=$\frac{147}{2}$A
綜上，當(dāng)1≤c＜84時(shí)，Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A；84≤c＜96時(shí)，Tmax=$\frac{147}{2}$A…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問(wèn)題，也考查了分段函數(shù)的問(wèn)題，是中檔題．