4.某廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力與技術(shù)水平的限制,會產(chǎn)生一些次品.根據(jù)經(jīng)驗知道,該廠生產(chǎn)這種儀器,次品率P與日產(chǎn)量x(件)(x∈N*)之間大體滿足如框圖所示的關(guān)系(注:次品率$P=\frac{次品數(shù)}{生產(chǎn)量}$,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,約有1件次品,其余為合格品).又已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A(元),但每生產(chǎn)一件次品將虧損$\frac{A}{2}$(元).
(Ⅰ)求日盈利額T(元)與日產(chǎn)量x(件)(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)當日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?

分析 (Ⅰ)每天的贏利為T=日產(chǎn)量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日產(chǎn)量(x)×次品率(P)×虧損,整理即可得到;
(Ⅱ)當x>c時,每天的盈利額T=0;當1≤c<84時,利用基本不等式可得x=c時,等號成立,利潤最大;當84≤c<96時,當x=84時,利潤最大.

解答 解:(Ⅰ)當1≤x≤c時,T=(1-$\frac{1}{96-x}$)xA-$\frac{1}{96-x}$xA=[x-$\frac{3x}{2(96-x)}$]A,
當x>c時,T=$\frac{1}{3}$xA-$\frac{2}{3}$x$\frac{A}{2}$=0,
$T=\left\{\begin{array}{l}[x-\frac{3x}{2(96-x)}]A\\ 0\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{(1≤x≤c}&{x∈{N^*})}\\{(x>c}&{x∈{N^*})}\end{array}$…3分
(Ⅱ)(1)當x>c時,每天的盈利額T=0;
(2)當1≤x≤c且x∈N時,$T=[x-\frac{3x}{2(96-x)}]A$,
令96-x=t,則0<96-c≤t≤95(t∈N),
可得:$T=[96-t-\frac{3}{2}•\frac{96-t}{2t}]•A=(\frac{195}{2}-t-\frac{144}{t})A$,
令$g(t)=t+\frac{144}{t}$,
①當1≤c<84時,12<96-c<t≤95,g(t)在區(qū)間(12,95)為單增函數(shù),
可得:$g{(t)_{min}}=g(96-c)=(96-c)+\frac{144}{96-c}$,$T≤[\frac{195}{2}-(96-C)-\frac{144}{96-C}]A=\frac{{189c-2{c^2}}}{192-2c}A>0$(當且僅當x=c時取等號),
∴當x=c時,Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A,…9分
②當84≤c<96時,$g(t)≥2\sqrt{t•\frac{144}{t}=}24$,$T≤(\frac{195}{2}-24)A=\frac{147}{2}A>0$.
∴當t=12即x=84時,Tmax=$\frac{147}{2}$A
綜上,當1≤c<84時,Tmax=$\frac{189c-2{c}^{2}}{192-2c}$A;84≤c<96時,Tmax=$\frac{147}{2}$A…12分

點評 本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用,并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問題,也考查了分段函數(shù)的問題,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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19.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+5(x≤-1)}\\{{x}^{2},(-1<x<1)}\\{2x(x≥1)}\end{array}\right.$.求f(-3),f[f(-3)]的值.

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(2)總體由編號為01,02,…,49,50的50個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第9列數(shù)字0開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為43
78 16 65 72 08  02 63 14 07 02  43 69 69 38 74
32 04 94 23 49  55 80 20 36 35  48 69 97 28 01

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19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點O是對角線AC與BD的交點,M是PD的中點,AB=1,∠BAD=60°.
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(Ⅰ)求證:MN∥BC;
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16.已知m,n是兩條不同的直線,α、β是兩個不同的平面,若m?α,n?β,且α∥β,則下列結(jié)論一定正確的是( 。
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(2)求平面PMD與平面ABCD所成角的大小的正切值.

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14.等比數(shù)列{cn}滿足cn+1+cn=10•4n-1,n∈N,數(shù)列{an}滿足cn=${2^{a_n}}$.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
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