過點P（1，4）的直線l與兩坐標軸正半軸相交，當(dāng)直線l在兩坐標軸上的截距之和最小時，直線l的方程是
2x+y-6=0
2x+y-6=0
．
分析：設(shè)直線方程的截距式：
x
a
+
y
b
=1，由題意得
1
a
+
4
b
=1，由此化簡直線l在兩坐標軸的截距之和得a+b=（a+b）（
1
a
+
4
b
）=5+
b
a
+
4a
b
，利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
4a
b
時截距之和最小，即可算出相應(yīng)的直線l的方程．
解答：解：設(shè)直線l的方程為
x
a
+
y
b
=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直線l上
∴
1
a
+
4
b
=1，
可得在兩坐標軸上的截距之和a+b=（a+b）（
1
a
+
4
b
）=5+
b
a
+
4a
b
≥5+2
b
a
•
4a
b
=9
當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
4a
b
時，即b=2a=6時，等號成立
此時的直線方程為
x
3
+
y
6
=1，化簡得2x+y-6=0
故答案為：2x+y-6=0
點評：本題給經(jīng)過定點的直線，求直線在軸上的截距之和最小時直線的方程．著重考查了直線的方程、直線的基本量和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點P與直x=4的距離等于它到定點F（1，0）的距離的2倍，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）點M（1，1）在所求軌跡內(nèi)，且過點M的直線與曲線C交于A、B，當(dāng)M是線段AB中點時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

        已知橢圓C的中心在的點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F1的直線與橢圓交于A，B兩點，的面積為4，的周長為

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設(shè)點Q的從標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直

線PF1，PF2都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年福建省泉州市南安一中高二（上）年期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知動點P與直x=4的距離等于它到定點F（1，0）的距離的2倍，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）點M（1，1）在所求軌跡內(nèi)，且過點M的直線與曲線C交于A、B，當(dāng)M是線段AB中點時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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