【題目】函數.
(1)根據不同取值,討論函數的奇偶性;
(2)若,對于任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍;
(3)若已知,. 設函數,,存在、,使得,求實數的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2);(3).
【解析】
(1)分和兩種情況討論,結合奇偶性的定義得出函數的奇偶性;
(2)滿足不等式,在時,可得出,可得出不等式對任意的恒成立,然后利用參變量分離法得出,利用函數單調性分別求出函數和在區(qū)間上的最大值和最小值,即可得出實數的取值范圍;
(3)由題意知,當時,,將代入函數的解析式,求出該函數的最小值,利用復合函數法求出函數在區(qū)間上的最大值,然后解不等式,即可得出實數的取值范圍.
(1)函數的定義域為,關于原點對稱.
當時,,,
此時,函數為奇函數;
當時,,,,
則,,此時,函數為非奇非偶函數;
(2)當時,則有恒成立,此時;
當時,由,即,即,
,,則,所以,不等式對任意的恒成立,
由,即,,即.
函數在區(qū)間上單調遞增,,
函數在區(qū)間上單調遞減,則,.
因此,實數的取值范圍是;
(3)由題意知,當時,,
當時,.
當時,,
此時,函數在區(qū)間上單調遞增,在上單調遞減,
且,,則;
當時,,
此時,函數在區(qū)間上單調遞增,則.
所以,函數在區(qū)間上的最小值為.
對于函數,
內層函數在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,
外層函數是減函數,
所以,,
由題意得,則有,解得.
因此,實數的取值范圍是.
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【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進行了多天的空氣質量監(jiān)測,測得三個城市空氣質量為優(yōu)或良的數據共有180個,三城市各自空氣質量為優(yōu)或良的數據個數如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個) | 28 | ||
良(個) | 32 | 30 |
已知在這180個數據中隨機抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質量為優(yōu)的數據的概率為0.2.
(1)現按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數據中抽取30個進行后續(xù)分析,求在城中應抽取的數據的個數;
(2)已知, ,求在城中空氣質量為優(yōu)的天數大于空氣質量為良的天數的概率.
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【題目】一個函數,如果對任意一個三角形,只要它的三邊長、、都在的定義域內,就有、、也是某個三角形的三邊長,則稱為“雙三角形函數”.
(1)判斷,,中,哪些是“雙三角形函數”,哪些不是,并說明理由;
(2)若是定義在上周期函數,值域為,求證:不是“雙三角形函數”;
(3)已知函數,,求證:函數是“雙三角形函數”.(可利用公式“”)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日元.根據經驗,若每輛自行車的日租金不超過元,則自行車可以全部租出;若超出元,則每超過元,租不出的自行車就增加輛.為了便于結算,每輛自行車的日租金(元)只取整數,并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用,用(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分).
(1)求函數的解析式;
(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時,才能使一日的凈收入最多?
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【題目】選修4—4:極坐標與參數方程
在平面直角坐標系中,將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設是定義在R上的兩個周期函數,的周期為4,的周期為2,且是奇函數.當時,,,其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上,關于x的方程有8個不同的實數根,則k的取值范圍是_____.
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