【題目】已知函數(shù)，（，）．

（1）若，求的極值和單調區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）有極小值1，函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）寫出函數(shù)解析式，求導，得當x變化時，，的變化情況表，從而求出極值與單調區(qū)間；

（2）將存在性問題轉化為最值問題，得在區(qū)間上的最小值小于0，分類討論，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求出最小值，再求參數(shù)的范圍．

（1）∵，∴（），∴

令，得

當x變化時，，的變化情況如下表：

x

1

-

0

+

減

極小值

增

∴當時，函數(shù)有極小值1；

函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使成立，

即在區(qū)間上的最小值小于0，

，（）令，得

①當時，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調遞減

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

∴由得，即

②當時，

（ⅰ）當即時，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調遞減

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

顯然，這與在區(qū)間上的最小值小于0不符

（ⅱ）當即時

當x變化時，，的變化情況如下表：

x

－

0

+

減

極小值

增

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

∴由，得，即

∴綜上述，實數(shù)a的取值范圍是．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為提高課堂教學效果，最近立項了市級課題《高效課堂教學模式及其運用》，其中王老師是該課題的主研人之一，為獲得第一手數(shù)據(jù)，她分別在甲、乙兩個平行班采用“傳統(tǒng)教學”和“高效課堂”兩種不同的教學模式進行教學實驗.為了解教改實效，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分為“成績優(yōu)良”.

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”？

甲班

乙班

總計

成績優(yōu)良

成績不優(yōu)良

總計

（2）從甲、乙兩班40個樣本中，成績在60分以下（不含60分）的學生中任意選取2人，記來自甲班的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.

附：（其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：

（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，且，點M在棱上，點N是BC的中點，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）若M為的中點，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中是常數(shù)）.

（Ⅰ）求過點與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）是否存在的實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當時不等式恒成立，若這樣的實數(shù)存在，試求，的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為4，點P（2，3）在橢圓上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P引圓的兩條切線PA，PB，切線PA，PB與橢圓C的另一個交點分別為A，B，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，求出其定值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為、，當動點在定直線上運動時，直線分別交橢圓于兩點、，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時）

（1）應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？

（2）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.

（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.

附：

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如果函數(shù)滿足且是它的零點，則函數(shù)是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.

（1）求出b、c并求出函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若對于任意正數(shù)x，都有恒成立，求參數(shù)k的取值范圍.

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