【題目】如圖所示,在三棱錐P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),AQ=2BD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH.
(1)求證:AB∥GH;
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,
∵C,D為AQ,BQ的中點(diǎn),∴CD∥AB,
又E,F(xiàn)分別AP,BP的中點(diǎn),∴EF∥AB,
則EF∥CD.又EF平面EFQ,∴CD∥平面EFQ.
又CD平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ=GH,∴CD∥GH.
又AB∥CD,∴AB∥GH
(2)解:由AQ=2BD,D為AQ的中點(diǎn)可得,三角形ABQ為直角三角形,
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=BP=BQ=2,
則D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(xiàn)(0,0,1),
因?yàn)镠為三角形PBQ的重心,所以H(0, , ).
則 ,
, .
設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為
由 ,得 ,取z1=1,得y1=2.
所以 .
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為
由 ,得 ,取z2=2,得y2=1.
所以 .
所以 = .
則二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于-
【解析】(1)由給出的D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),利用三角形中位線知識(shí)及平行公理得到DC平行于EF,再利用線面平行的判定和性質(zhì)得到DC平行于GH,從而得到AB∥GH;(2)由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出BA、BQ、BP的長(zhǎng)度,標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo),求出一些向量的坐標(biāo),利用二面角的兩個(gè)面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長(zhǎng)度為a,在線段上取兩個(gè)點(diǎn),,使得,以為一邊在線段的上方做一個(gè)正六邊形,然后去掉線段,得到圖2中的圖形;對(duì)圖2中的最上方的線段作相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:
記第個(gè)圖形(圖1為第1個(gè)圖形)中的所有線段長(zhǎng)的和為,現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個(gè)命題:
①數(shù)列是等比數(shù)列;
②數(shù)列是遞增數(shù)列;
③存在最小的正數(shù),使得對(duì)任意的正整數(shù) ,都有 ;
④存在最大的正數(shù),使得對(duì)任意的正整數(shù),都有.
其中真命題的序號(hào)是________________(請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.
(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率;
(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段總是位于,兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn),是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn),則類似地有__________成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義“正對(duì)數(shù)”:ln+x= ,現(xiàn)有四個(gè)命題:
①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,則 ;
④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命題有(寫出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),交軸正半軸于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)的面積為,求的最小值及此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為:若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相交”;若兩條平行直線和圓沒有公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相離”;若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線:,:,和圓相切,則的取值范圍是( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2 , g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值),記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A﹣B=( )
A.16
B.﹣16
C.﹣16a2﹣2a﹣16
D.16a2+2a﹣16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范圍.
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