Question

11．數列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1+2a_n=3．
（Ⅰ）證明{a_n-1}是等比數列，并求數列{a_n}通項公式；
（Ⅱ）已知符號函數sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，設b_n=a_n•sgn{a_n}，求數列{b_n}的前100項和．

Answer 1

分析 （I）a_n+1+2a_n=3，可得a_n+1-1=-2（a_n-1）．利用等比數列的定義通項公式即可得出．
（II）b_n=a_n•sgn{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，n為偶數}\\{{2}^{n}-1，n為奇數}\end{array}\right.$，再利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1+2a_n=3，∴a_n+1-1=-2（a_n-1）．a₁-1=-2．
∴{a_n-1}是等比數列，首項與公比都為-2．
∴a_n-1=（-2）ⁿ，可得a_n=（-2）ⁿ+1．
（II）解：b_n=a_n•sgn{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，n為偶數}\\{{2}^{n}-1，n為奇數}\end{array}\right.$，
∴數列{b_n}的前100項和=（2-1）+（2²+1）+（2³-1）+（2⁴+1）+…+（2⁹⁹-1）+（2¹⁰⁰+1）
=2+2²+…+2¹⁰⁰
=$\frac{2（{2}^{100}-1）}{2-1}$=2¹⁰¹-2．

點評 本題考查了等比數列的定義通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．