Question

2．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{{a{\;}^2}}-\frac{y^2}{{b{\;}^2}}$=1的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的某一條漸近線交于兩點(diǎn)P，Q，若∠PAQ=$\frac{π}{3}$且$\overrightarrow{OQ}=5\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 確定△QAP為等邊三角形，設(shè)AQ=2R，則OP=$\frac{1}{2}$R，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理和離心率公式，計算即可得出結(jié)論．

解答 解：因為∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}=5\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP為等邊三角形，
設(shè)AQ=2R，則PQ=2R，OP=$\frac{1}{2}$R，
漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），
取PQ的中點(diǎn)M，則AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①，
在△OQA中，$\frac{（\frac{5}{2}R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{5}{2}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{21}{4}$R²=a²②
①②結(jié)合c²=a²+b²，
解得c²=$\frac{7}{4}$b²=$\frac{7}{4}$（c²-a²），
即為3c²=7a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)：離心率，考查余弦定理、勾股定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．