Question

（本小題滿分12分）已知直線與橢圓相交于、兩點．

（1）若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；

（2）若向量與向量互相垂直（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設，由題設，2=2及求出的值，確定橢圓的標準方程，然后由直線與橢圓方程聯立方程組，消去后，結合韋達定理與弦長公式線段的長.

（2）設，即

與第一問類似，結合韋達定理及點在直線上，將轉化成關于的等式，

最后結合求出的最值.

試題解析：（1），2=2，即∴則

∴橢圓的方程為， 2分

將代入消去得：

設

∴ 5分

（2）設

，即

由，消去得：

由，整理得：

又，

由，得：

，整理得： 9分

代入上式得：，

，條件適合，

由此得：，故長軸長的最大值為． 12分

考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓位置關系綜合問題.