Question

設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，若對所有的x∈[-1，1]及任意的a∈[-1，1]都滿足f（x）≤t²-2at+1，則t的取值范圍是（　　）

• A、[-2，2]
• B、{t|t≤-

  1

  2

  或t≥

  1

  2

  或=0}
• C、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• D、{t|t≤-2或t≥2或t=0}

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：先由函數為奇函數求出f（1）=-f（-1）=1，然后由x∈[-1，1]時f（x）是增函數，f（x）≤f（1）=1得f（x）≤t²-2at+1即為1≤t²-2at+l，即2at≤t²恒成立，分類討論求解即可．

解答： 解：奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，
則f（1）=1，
又∵x∈[-1，1]時f（x）是增函數，
∴f（x）≤f（1）=1，
故有1≤t²-2at+l，
即2at≤t²，
①t=0時，顯然成立，
②t＞0時，2a≤t要恒成立，則t≥2，
③t＜0時，t≤2a要恒成立，則t≤-2，
故t≤-2或t=0或t≥2，．
故選：D．

點評：本題解題的關鍵是綜合利用函數的性質化簡f（x）≤t²-2at+1，然后轉化為恒成立問題求解，分類討論求解．