Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（Ⅱ），
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得，
在區(qū)間上，f′（x）＞0，在區(qū)間上，f′（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。
（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為，，
由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意；
(或者舉出反例：存在，故不符合題意)
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，，
所以，
解得。