Question

【題目】設數(shù)列的前n項和為，滿足，.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在一個奇數(shù)，使得數(shù)列中的項都在數(shù)列中？若存在，找出符合條件的一個奇數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）利用 將原遞推公式進行化簡，可得，進而可得，兩式相減可得，再根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列和分別是以為首項，為公差的等差數(shù)列，由此即可求出結(jié)果；

（2）當時，由可得，，所以數(shù)列和分別是以為首項，為公差的等差數(shù)列，和，記，當為奇數(shù)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)；所以不是數(shù)列中的項，只可能是中的項；若是數(shù)列中的項，由，得，取，得，此時，由得，即可求出結(jié)果.

（1）當時，由已知得

于是

由得：

于是

由得：

由，，可得，，又

所以數(shù)列和分別是以為首項，為公差的等差數(shù)列

，即時，

，即時，

∴

（2）當時，由可得，

所以數(shù)列和分別是以為首項，為公差的等差數(shù)列

由題設知，記，當為奇數(shù)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)

不是數(shù)列中的項，只可能是中的項

若是數(shù)列中的項，由，得

取，得，此時

由得，即

故是數(shù)列中的第項

【點精】

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，同時也考查了數(shù)列遞推公式的應用，本題屬于中檔題.