Question

3．求實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²+2x-4y+1=0，求$\frac{y}{x-4}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 將$\frac{y}{x-4}$看做點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)（0，4）兩點(diǎn)間的直線斜率k，則兩點(diǎn)所在直線方程為y=k（x-4）．而點(diǎn)（x，y）在圓上運(yùn)動(dòng)，所以圓心到直線距離小于半徑，即d≤r，即可得出結(jié)論．

解答 解：將$\frac{y}{x-4}$看做點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)（0，4）兩點(diǎn)間的直線斜率k，則兩點(diǎn)所在直線方程為y=k（x-4）．
而點(diǎn)（x，y）在圓上運(yùn)動(dòng)，所以圓心到直線距離小于半徑，即d≤r． 
x²+y²+2x-4y+1=0的圓心C₁（-1，2），r=2，
則有：$\frac{{|{k（{-1-4}）-2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，得$-\frac{20}{21}≤k≤0$，
所以$\frac{y}{x-4}$的最大值為0，最小值為-$\frac{20}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．