Question

6．在四菱錐P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求證：PA⊥AB；
（II）求直線AD與平面PCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）取CD的中點E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD，證明PA⊥平面ABCD，即可證明：PA⊥AB；
（II）求出A到平面PCD的距離，即可求直線AD與平面PCD所成角的大小．

解答 （I）證明：取CD的中點E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD，
∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．
∵PA?平面PAE，∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB；
（II）解：由題意，AD=PE=$\sqrt{2}$．
設A到平面PCD的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直線AD與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，大小為30°．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．