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14.若函數(shù)f(x)=a(x-2)ex+lnx+1x在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則a的取值范圍為( �。�
A.(-∞,-14e2B.(-1e14e2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1eD.(-∞,-1e)∪(--1e,-14e2

分析 函數(shù)f(x)在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f′(x)在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),
令f′(x)=0,求出x=1和aex+1x2=0,且x≠1,x∈(0,2);
求出a=-1exx2,x∈(0,1)∪(1,2);
設(shè)t(x)=ex•x2,x∈(0,1)∪(1,2),求出t(x)的取值范圍,即得a的取值范圍.

解答 解:函數(shù)f(x)=a(x-2)ex+lnx+1x在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),
等價(jià)于f′(x)=a(x-1)ex+1x-1x2在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),
令f′(x)=0,則a(x-1)ex+x1x2=0,
即(x-1)(aex+1x2)=0,
∴x-1=0或aex+1x2=0,
∴x=1滿足條件,且aex+1x2=0(其中x≠1且x∈(0,2));
∴a=-1exx2,其中x∈(0,1)∪(1,2);
設(shè)t(x)=ex•x2,其中x∈(0,1)∪(1,2);
則t′(x)=(x2+2x)ex>0,
∴函數(shù)t(x)是單調(diào)增函數(shù),
∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2),
∴a∈(-∞,-1e)∪(-1e,-14e2).
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)極值與零點(diǎn)的應(yīng)用問題,考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力,是綜合性題目.

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A.23B.35C.47D.59

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