Question

f（x）=

a

x

+x+（a-1）lnx+15a，F(xiàn)（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-2，對f（x）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f'（x）＞0，解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）假設(shè)命題成立，則F（x）在[a，1]上是減函數(shù)，f（x）在[1，-a]上是減函數(shù)，且F（1）≥f（1），從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=-2，f（x）=-

2

x

+x-3lnx-30（x＞0），
∴f′（x）=

2

x2

+1-

3

x

=

x2-3x+2

x2

，
設(shè)f'（x）＞0，
即x²-3x+2＞0，
∴x＜1，或x＞2，
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；
（2）假設(shè)存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，F(xiàn)'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1）=6（x-1）（x-2a-2），
當(dāng)g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，則F（x）在[a，1]上為減函數(shù)，f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)，且F（1）≥f（1），則a≥-3．
由（Ⅰ）知當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，-a），
（1）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）=6（x-1）²≥0，F(xiàn)（x）在定義域上為增函數(shù)，不合題意；
（2）當(dāng)時(shí)，由F'（x）＜0得：1＜x＜2a+2，F(xiàn)（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，則在[a，1]上也為增函數(shù)，也不合題意；
（3）當(dāng)時(shí)，由F'（x）＜0得：2a+2＜x＜1，F(xiàn)（x）在[2a+2，1]上為減函數(shù)，如果g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，
則F（x）在[a，1]上為減函數(shù)，
則：2a+2≤a，∴a≤-2．
綜上所述，符合條件的a滿足[-3，-2]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值與對稱問題，是易錯(cuò)題．