Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，a∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式g（x）＜

x-m

x

有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）定義：對(duì)于函數(shù)y=F（x）和y=G（x）在其公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₀，稱(chēng)|F（x₀）-G（x₀）|的值為兩函數(shù)在x₀處的差值．證明：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）和f=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大于2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，以及導(dǎo)函數(shù)大于0，小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式g（x）＜

x-m

x

有解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e^x

x

＜x-m有解，利用常數(shù)分離法進(jìn)行求解；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，f（x）與g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞），由于|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），設(shè)m（x）=e^x-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得出m（x）＞m（0）=1，同樣地，設(shè)n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），得到n（x）≤n（1）=-1，從而有|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2，即在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+

1

x

，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=0，得x=-

1

a

，當(dāng)x∈（0，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）為單調(diào)遞增函數(shù)；在（-

1

a

，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0，得x=-

1

a

，當(dāng)x∈（0，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）為單調(diào)遞減函數(shù)；在（-

1

a

，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）由題意，不等式g（x）＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只須m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=x-e^x

x

，x∈（0，+∞），h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因?yàn)?span id="5i2beks" class="MathJye">

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且e^x＞1，∴1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，故h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，f（x）與g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞），
|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），設(shè)m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），
因?yàn)閙′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，m（x）＞m（0）=1，
又設(shè)n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因?yàn)閚′（x）=

1

x

-1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，n（x）取得極大值點(diǎn)，
即n（x）≤n（1）=-1，故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2，
即在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．注意函數(shù)的定義域，此題是一道中檔題，考查學(xué)生計(jì)算能力．