Question

13．在△ABC中，a，b，c成等比數(shù)列．
（1）若$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求∠B值；
（2）若△ABC外接圓的面積為4π，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC中，a、b、c成等比數(shù)列及正弦定理可得sin²B=sinAsinC，將所求關(guān)系式中的切化弦即可求得其值；
（2）先根據(jù)正弦定理求出b=2RsinB=4sinB，再根據(jù)余弦定理求出B的范圍，根據(jù)三角的面積公式得到S_△ABC=8sin³B，即可求出面積的范圍．

解答 解：（1）由a、b、c成等比數(shù)列，得b²=ac，sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵△ABC外接圓的面積為4π，
∴πR²=4π，
∴R=2，
∴b=2RsinB=4sinB
∵b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，cosB取最小值$\frac{1}{2}$．
∴B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]，
∴0＜sinB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜sin³B≤$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB=8sin³B，
∴0＜S_△ABC≤3$\sqrt{3}$
故△ABC面積的取值范圍為（0，3$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，著重考查正弦定理與余弦定理及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．