Question

5．已知△ABC中，AB=AC=1，且|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，若點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍．

解答 解：△ABC中，AB=AC=1，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
以AC，AB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（0，0），C（1，0），B（0，1），
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴E（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
直線BC方程為x+y=1，即x+y-1=0；
設(shè)P（x，y），則0≤x≤1，
則$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$（1-x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$；
∵0≤x≤1，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$；
即$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系使用坐標(biāo)計(jì)算是常用方法．