Question

已知等比數(shù)列{a_n}，a₄＞a₅=1，使a₁+a₂+a₃+…+a_n＞

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

成立的最大自然數(shù)n是（　�。�

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＜1，可得左邊=

q-4(1-qn)

1-q

，右邊=

q5-n(1-qn)

1-q

，代入已知可得關(guān)于n的不等式，解之可得．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＜1，
則a_n=a5•qn-5=q^n-5，故

1

an

=q^5-n，
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=

a1(1-qn)

1-q

=

a5 q4 (1-qn)

1-q

=

q-4(1-qn)

1-q

，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1 a1 (1- 1 qn )

1- 1 q

=

q5-n(1-qn)

1-q

，
由題意可得

q-4(1-qn)

1-q

＞

q5-n(1-qn)

1-q

，
化簡可得q^-4＞q^5-n，
由于當(dāng)q＜1時(shí)，qⁿ為單調(diào)減函數(shù)，
故可得-4＜5-n，即n＜9，
故使式子成立的最大自然數(shù)n為8，
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．