Question

3．已知直線l：$y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線$x=\frac{a^2}{c}$（其中2c為焦距）上，直線m過橢圓左焦點(diǎn)F₁交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若$|{\overrightarrow{{F_2}M}+\overrightarrow{{F_2}N}}|=5\sqrt{2}$，求直線m的方程；
（3）設(shè)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線m繞點(diǎn)F₁轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線l的方程，令y=0即可得出橢圓的焦點(diǎn)（c），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，利用準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可得出a，再利用b²=a²-c²即可得到橢圓的方程；
（2）由題意方程可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)直線MN的方程為x=ty-2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理以及向量的模的運(yùn)算，解方程可得t，進(jìn)而得到所求直線的方程；
（3）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，可得$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|sin∠MON=λ，即有λ=S_△MON=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₁-y₂|，再由韋達(dá)定理和基本不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由直線l：y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
令y=0，解得x=2，可得c=2，
即橢圓的焦點(diǎn)為（±2，0），
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{y}{2}=\sqrt{3}（\frac{x}{2}-2）}\end{array}\right.$，解得x=3，即$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，可得a²=6，
則b²=a²-c²=2．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由題意方程可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
設(shè)直線MN的方程為x=ty-2，
代入橢圓方程可得，（3+t²）y²-4ty-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4t}{3+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{t}^{2}}$，
由$|{\overrightarrow{{F_2}M}+\overrightarrow{{F_2}N}}|=5\sqrt{2}$，可得（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=50，
又x₁+x₂=t（y₁+y₂）-4，
即有（$\frac{4{t}^{2}}{3+{t}^{2}}$-8）²+（$\frac{4t}{3+{t}^{2}}$）²=50，
解得t²=1，即t=±1，
則直線m的方程為x=±y-2；
（3）$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$，
可得$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|sin∠MON=λ，
即有λ=S_△MON=$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y₁-y₂|
=|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{（3+{t}^{2}）^{2}}+\frac{8}{3+{t}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+{t}^{2}}}{3+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{1+{t}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，即t=±1時(shí)，S取得最大值$\sqrt{3}$．
則有λ的取值范圍是（0，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)適合題意的方程、向量的運(yùn)算與基本不等式是解題的關(guān)鍵．