Question

8．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，右焦點(diǎn)為F（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，從而結(jié)合韋達(dá)定理得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$；從而求得．

解答 解：（1）由題意知，
c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$2\sqrt{2}$，b=2，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），k為斜率且k≠0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將其代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
由于F在橢圓內(nèi)，當(dāng)然對(duì)任意實(shí)數(shù)都有△＞0；
根據(jù)韋達(dá)定理得，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$；
y₁+y₂=k（x₁-2）+k（x₂-2）=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
于是線段MN的中點(diǎn)為（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}$），
則線段MN的垂直平分線方程為y-$\frac{-2k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）．
令y=0，得x=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{2{k}^{2}+1}$，
1+2k²∈（1，+∞），
所以點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力的應(yīng)用．