Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左焦點(diǎn)為F（-2，0），離心率為2．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程求出a，b，c即可．
（2）設(shè)出直線方程聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求的思想求出直線斜率，進(jìn)行檢驗(yàn)求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)為F（-2，0），離心率為2．
∴c=2，e=$\frac{c}{a}$=2，
即a=1，則b²=c²-a²=4-1=3，
則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)過B（1，1）為中點(diǎn)的直線方程與x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{3{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=3}\\{3{{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=3}\end{array}\right.$，
兩式相減得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁+y₂）=0，①
若B是線段MN的中點(diǎn)，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，代入①得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，
即k_MN=3，
則直線MN的方程為3x-y-2=0，
∵B在雙曲線的外部，∴要檢驗(yàn)MN是否與雙曲線相交，
將y=3x-2代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1即3x²-y²=3得6x²-12x+7=0，
則判別式△=-24＜0，
故直線和雙曲線無交點(diǎn)，則以B為中點(diǎn)的弦不存在．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的方程以及中點(diǎn)弦問題，利用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力，注意要進(jìn)行檢驗(yàn)．