Question

1．已知圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：x²+y²+2ay-2=0（a＞0）．
（1）若圓C₁與圓C₂相外切，你能求出a的取值范圍嗎？
（2）若圓C₁與圓C₂的公共弦長的取值范圍是（0，2$\sqrt{3}$]，你能求出a的取值范圍嗎？

Answer 1

分析 （1）利用圓C₁與圓C₂相外切，圓心距等于半徑和，建立方程，即可求出a的取值范圍；
（2）求出圓C₁與圓C₂的公共弦的方程，根據(jù)圓C₁與圓C₂的公共弦長的取值范圍是（0，2$\sqrt{3}$]，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）圓C₁：x²+y²=4的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，圓C₂：x²+y²+2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為（0，-a），半徑為$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∵圓C₁與圓C₂相外切，
∴|a|=2+$\sqrt{{a}^{2}+2}$，又a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）圓C₁與圓C₂的公共弦的方程為ay+1=0，即y=-$\frac{1}{a}$，
∵圓C₁與圓C₂的公共弦長的取值范圍是（0，2$\sqrt{3}$]，
∴0＜2$\sqrt{4-\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤1．

點評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓C₁與圓C₂的公共弦長的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．