Question

11．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{{|AB{|^2}}}$叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A、B之間的“平方彎曲度”．設(shè)曲線y=e^x+x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，則φ（A，B）的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出y′=e^x，+1，由定義求出兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“平方彎曲度”，由題意可令t=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$，
可設(shè)f（t）=$\frac{t}{1+（t+1）^{2}}$，t＞0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極大值和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：y=e^x+x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x+1，
k_A=e${\;}^{{x}_{1}}$+1，k_B=e${\;}^{{x}_{2}}$+1，
φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{{|AB{|^2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}+{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}+1）^{2}}$，
x₁-x₂=1，可得x₁＞x₂，e${\;}^{{x}_{1}}$＞e${\;}^{{x}_{2}}$，
可令t=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$，
可設(shè)f（t）=$\frac{t}{1+（t+1）^{2}}$，t＞0，
f′（t）=$\frac{1+（t+1）^{2}-2t（t+1）}{（1+（t+1）^{2}）^{2}}$=$\frac{2-{t}^{2}}{（1+（t+1））^{2}}$，
當(dāng)0＜t＜$\sqrt{2}$時(shí)，f′（t）＞0，f（t）遞增；
當(dāng)t＞$\sqrt{2}$時(shí)，f′（t）＜0，f（t）遞減．
則當(dāng)t=$\sqrt{2}$處f（t）取得極大值，且為最大值$\frac{\sqrt{2}}{1+（\sqrt{2}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
則φ（A，B）∈（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造法和換元法，化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題．