Question

已知函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)求證：f()+f(x)=0(x≠0)；
(3)若f(2)=m，f(3)=n（m，n均為常數(shù)），求f(36)的值．

Answer 1

解：(1)不妨設(shè)a=b=0，則有f(0×0)=f(0)+f(0)，從而得f(0)=0；
設(shè)a=b=1，則應(yīng)有f(1×1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0．
(2)證明：當(dāng)x≠0時(shí)，注意到x·=1，
于是f(1)==f(x)+f()，
而f(1)=0，
所以f()+f(x)=0（x≠0）．
(3)題設(shè)中有f(2)=m，f(3)=n，
因此需將36轉(zhuǎn)化，注意到36=2²×3²，
因此，f(36)=f(2²×3²)=f(2²)+f(3²)
=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2(m+n)。