Question

17． 設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，求橢圓的離心率．
（2）若橢圓的一個焦點為F（2，0），在（1）的條件下，橢圓上存在兩點P、Q，滿足$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，其中M（3，0）試求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A（-a，0），B（a，0）．利用斜率計算公式可得k_AP•k_BP=$\frac{y}{x+a}$×$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，又y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$化簡解出即可得出．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．設(shè)P（x，y），則y²=$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$．由$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$=${\overrightarrow{PQ}}^{2}$，化簡整理利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A（-a，0），B（a，0）．
∵k_AP=$\frac{y}{x+a}$，k_BP=$\frac{y}{x-a}$，
∴k_AP•k_BP=$\frac{y}{x+a}$×$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，又y²=$^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，b²=a²-c²=12．
∴$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
設(shè)P（x，y），則y²=$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$．
∵$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，其中M（3，0），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$=${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（x-3）²+y²=x²-6x+9+$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-6x+21=$\frac{1}{4}$（x-12）²-15．
∵-4≤x≤4，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$的取值范圍是[1，49]．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．