Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果對任意的x₁，x₂∈[e²，+∞），有|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）由斜率計算公式可得f（x）=

1+lnx

x

，再利用函數(shù)在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值時與參數(shù)的關系即可得出；
（（II）由（I）可知：函數(shù)f（x）在∈[e²，+∞）單調(diào)遞減，不妨設x1＞x2≥e2，則|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，?f（x₂）-f（x₁）|≥m(

1

x2

-

1

x1

)⇒f(x2)-

m

x2

≥f(x1)-

m

x1

．?函數(shù)F（x）=f（x）-

m

x

在∈[e²，+∞）單調(diào)遞減，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可．

解答： 解：（I）k=f（x）=

1+lnx

x

，f′（x）=-

lnx

x2

，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當1＜x時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值1．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值，
∴

0＜a＜1 a+ 1 3 ＞1

，解得

2

3

＜a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍是(

2

3

，1)．
（II）由（I）可知：函數(shù)f（x）在∈[e²，+∞）單調(diào)遞減，
不妨設x1＞x2≥e2，
則|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|?f（x₂）-f（x₁）|≥m(

1

x2

-

1

x1

)
⇒f(x2)-

m

x2

≥f(x1)-

m

x1

?函數(shù)F（x）=f（x）-

m

x

在x∈[e²，+∞）單調(diào)遞減．
F（x）=

1+lnx

x

-

m

x

，x∈[e²，+∞）．∴F′（x）=-

lnx

x2

+

m

x2

≤0在x∈[e²，+∞）恒成立，
∴m≤lnx在x∈[e²，+∞）上恒成立，
∴m≤2．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、在給出含參數(shù)區(qū)間上取得極值的條件、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．