Question

以下命題中，正確的命題為（　　）

• A、|

  a

  |-|

  b

  |＜|

  a

  +

  b

  |是

  a

  、

  b

  不共線的充要條件
• B、（

  a

  •

  b

  ）•

  c

  =

  b

  •（

  a

  •

  b

  ）=（

  b

  •

  c

  ）•

  a

• C、向量

  a

  在向量

  b

  方向上的射影向量的模為|

  a

  |•cos＜

  a

  ，

  b

  ＞
• D、在四面體ABCD中，若

  AB

  •

  CD

  =0，

  AC

  •

  BD

  =0，則

  AD

  •

  BC

  =0

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：A.

a

、

b

不共線的充要條件是||

a

|-|

b

||＜|

a

+

b

|＜|

a

|+|

b

|，即可判斷；
B．由于向量的數(shù)量積是數(shù)量，且

a

，

b

，

c

不一定共線，即可判斷；
C．由向量的數(shù)量積的幾何意義和模的概念，即可判斷；
D．即為在四面體ABCD中，若AB⊥CD，AC⊥BD，則AD⊥BC．應(yīng)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷．

解答： 解：A.

a

、

b

不共線的充要條件是||

a

|-|

b

||＜|

a

+

b

|＜|

a

|+|

b

|，故A錯(cuò)；
B．由于向量的數(shù)量積是數(shù)量，且

a

，

b

，

c

不一定共線，故B錯(cuò)；
C．由于

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，則向量

a

在向量

b

方向上的射影向量的模為
||

a

|•cos＜

a

，

b

＞|，故C錯(cuò)；
D．即為在四面體ABCD中，若AB⊥CD，AC⊥BD，則AD⊥BC．
如圖作AE⊥面BCD于E，連接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，證得E是垂心，
則可得出DE⊥BC，進(jìn)而可證得BC⊥面AED，即可證出BC⊥AD，故D對(duì)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和幾何意義，向量垂直的條件和向量不共線的充要條件，屬于中檔題．