Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，點(diǎn)C為橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，直線AC與直線BC的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得A（0，b），B（0，-b），設(shè)C（x₀，y₀），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，由題意可得a，b的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)系和離心率的定義可得．

解答 解：由題意可得A（0，b），B（0，-b），設(shè)C（x₀，y₀），
由C在橢圓上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
即有x₀²=$\frac{{a}^{2}（^{2}-{{y}_{0}}^{2}）}{^{2}}$，①
由直線AC與BC的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，
可得$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$，
即為x₀²=4（b²-y₀²），②
由①代入②可得$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=4，即a=2b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．