Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l₁經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3．
（ I）求直線l₁的方程；
（ II）已知過右焦點(diǎn)F₂的動(dòng)直線l₂與橢圓C交于P，Q不同兩點(diǎn)，是否存在x軸上一定點(diǎn)T，使∠OTP=∠OTQ？（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．
（II） II）設(shè)l₂的方程為$my=x-\sqrt{2}$與橢圓聯(lián)立：$（{m^2}+1）{y^2}+2\sqrt{2}y-2=0$．假設(shè)存在點(diǎn)T（t，0）符合要求，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∠OTP=∠OTQ$?\frac{y_1}{{{x_1}-t}}+\frac{y_2}{{{x_2}-t}}=0?{y_1}（{x_2}-t）+{y_2}（{x_1}-t）=0$，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（ I）解法一：設(shè)l₁的方程為$y=k（x-\sqrt{2}）$，與橢圓聯(lián)立得$（2{k^2}+1）{x^2}-4\sqrt{2}{k^2}x+4{k^2}-4=0$，
直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故△＞0恒成立，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則${x_3}+{x_4}=\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_3}{x_4}=\frac{{4{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$．
∴$|{x_3}-{x_4}{|^2}={（{x_3}+{x_4}）^2}-4{x_3}{x_4}=\frac{{32{k^4}}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}-4\frac{{4（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}=16\frac{{2{k^4}-（{k^2}-1）（2{k^2}+1）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}=\frac{{16（{k^2}+1）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}$，
$|{x_3}-{x_4}|=\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}}}{{2{k^2}+1}}$，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_3}-{x_4}|=\frac{{4{k^2}+4}}{{2{k^2}+1}}=3$，
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，l₁的方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-1$或$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$；
解法二：由焦半徑公式有$|AB|=2a-e（{x_3}+{x_4}）=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=4-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=3$，解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（ II）設(shè)l₂的方程為$my=x-\sqrt{2}$與橢圓聯(lián)立：$（{m^2}+1）{y^2}+2\sqrt{2}y-2=0$，
由于過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，△＞0．
假設(shè)存在點(diǎn)T（t，0）符合要求，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
韋達(dá)定理：${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+2}}$．
∠OTP=∠OTQ$?\frac{y_1}{{{x_1}-t}}+\frac{y_2}{{{x_2}-t}}=0?{y_1}（{x_2}-t）+{y_2}（{x_1}-t）=0$，
點(diǎn)在直線$my=x-\sqrt{2}$上有${y_1}（m{y_2}+\sqrt{2}-t）+{y_2}（m{y_1}+\sqrt{2}-t）=0$，
即$2m{y_1}{y_2}+（\sqrt{2}-t）（{y_1}+{y_2}）=0$，
∴$2m\frac{-2}{{{m^2}+2}}+（\sqrt{2}-t）\frac{{-2\sqrt{2}m}}{{{m^2}+2}}=0$，
解得$t=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、焦半徑公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．