Question

已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，且在處取得極小值.設.

（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；

（2）如何取值時，函數存在零點，并求出零點.

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先設點的坐標，利用兩點間的距離公式將表示為為自變量的函數，利用基本不等式求出相應的最小值，然后列方程求出的值；（2）令，將函數的零點轉化為求方程的根，對首項系數的符號進行分類討論，以及在首項系數不為零時對的符號進行分類討論，從而確定函數在定義域上是否存在零點，并且在零點存在的前提下利用求根公式求出相應的零點值.

試題解析：（1）依題可設 ()，則；

又的圖像與直線平行         

， ，

設，則

當且僅當時，取得最小值，即取得最小值

當時，   解得 

當時，   解得

（2）由()，得  

當時，方程有一解，函數有一零點；

當時，方程有二解，

若，，

函數有兩個零點，即；

若，，

函數有兩個零點，即；

當時，方程有一解,   ,

函數有一零點

綜上，當時, 函數有一零點；

當()，或（）時，

函數有兩個零點；

當時，函數有一零點.

考點：1.兩點間的距離公式；2.基本不等式；3.分類討論；4.一元二次方程的求解