【題目】在正四面體P﹣ABC中,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),且 ,設(shè)異面直線 NM 與 AC 所成角為α,當(dāng) 時(shí),則cosα的取值范圍是 .
【答案】[ , ]
【解析】解:設(shè)P到平面ABC的射影為點(diǎn)O,取BC中點(diǎn)D,
以O(shè)為原點(diǎn),在平面ABC中,以過(guò)O作DB的平行線為x軸,
以O(shè)D為y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)正四面體P﹣ABC的棱長(zhǎng)為4 ,
則A(0,﹣4,0),B(2 ,2,0),C(﹣2 ,2,2 ),P(0,0,4 ),M(﹣ ,1,2 ),
由 ,得N( ),
∴ =(﹣ ,5﹣6λ,2 ), =(﹣2 ,6,0),
∵異面直線 NM 與 AC 所成角為α, ,
∴cosα= = ,設(shè)3﹣2λ=t,則 ,
∴cosα= = ,
∵ ,
∴ .
∴cosα的取值范圍是[ , ].
故答案為:[ , ].
設(shè)P到平面ABC的射影為點(diǎn)O,取BC中點(diǎn)D,以O(shè)為原點(diǎn),在平面ABC中,以過(guò)O作DB的平行線為x軸,以O(shè)D為y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出cosα的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科考試中,從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各抽取10名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,兩班成績(jī)的莖葉圖如圖所示,成績(jī)不小于90分為及格. (Ⅰ)設(shè)甲、乙兩個(gè)班所抽取的10名同學(xué)成績(jī)方差分別為 、 ,比較 、 的大。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果,不寫過(guò)程);
(Ⅱ)從甲班10人任取2人,設(shè)這2人中及格的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;
(Ⅲ)從兩班這20名同學(xué)中各抽取一人,在已知有人及格的條件下,求抽到乙班同學(xué)不及格的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電視臺(tái)舉行電視奧運(yùn)知識(shí)大獎(jiǎng)賽,比賽分初賽和決賽兩部分.為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行,每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽,答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽,答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為 . (Ⅰ)求選手甲可進(jìn)入決賽的概率;
(Ⅱ)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為ξ,試寫出ξ的分布列,并求ξ的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正三棱柱中,D是AC的中點(diǎn),AB1⊥BC1,則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知拋物線 C1:y2=2px (p>0),直線 l 與拋物線 C 相交于 A、B 兩點(diǎn),且當(dāng)傾斜角為 60°的直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線 C1 的焦點(diǎn) F 時(shí),有|AB|= .
(Ⅰ)求拋物線 C 的方程;
(Ⅱ)已知圓 C2:(x﹣1)2+y2= ,是否存在傾斜角不為 90°的直線 l,使得線段 AB 被圓 C2截成三等分?若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= +lg(x﹣1)的定義域是( )
A.(1,+∞)
B.(﹣∞,2)
C.(2,+∞)
D.(1,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求證:不論m取什么實(shí)數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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