Question

如圖，已知△OAB中，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB的一個(gè)靠近B的三等分點(diǎn)，DC和OA交于E，設(shè)

AB

=a，

AO

=b
（1）用向量

a

與

b

表示向量

OC

，

CD

；
（2）若

OE

=λ

OA

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義,向量的減法及其幾何意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，利用向量的加法與減法的幾何意義，得出

OC

=

OA

+

AC

，

CD

=

CB

+

BD

，即可用

a

、

b

表示；
（2）根據(jù)

CD

與

CE

共線，求出

AE

與

AO

的關(guān)系，從而得出

OE

與

OA

的關(guān)系．

解答： 解：（1）△OAB中，∵點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴

CA

=

AB

=

a

，
∴

AC

=-

a

，
∴

OC

=

OA

+

AC

=-

b

+（-

a

）=-

a

-

b

；
又∵

CB

=2

AB

=2

a

，
點(diǎn)D是線段OB的一個(gè)靠近B的三等分點(diǎn)，
∴

BD

=

1

3

BO

；
又∵

BO

=

BA

+

AO

=-

a

+

b

，
∴

CD

=

CB

+

BD

=2

a

+

1

3

（-

a

+

b

）
=

5

3

a

+

1

3

b

；
（2）∵

CD

=

5

3

a

+

1

3

b

，
設(shè)

CE

=

CA

+

AE

=

a

+x

b

，

CD

=y

CE

，x、y∈R；
∴

5

3

a

+

1

3

b

=y

a

+xy

b

，
即

y= 5 3 xy= 1 3

，
解得y=

5

3

，x=

1

5

；
∴

AE

=

1

5

AO

，

OE

=

4

5

OA

；
∴當(dāng)

OE

=λ

OA

時(shí)，λ=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的加法與減法的幾何意義以及向量共線的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．