Question

已知關于x的函數f（x）=lnx+a（x-1）²（a∈R）．
（1）求函數f（x）在點P（1，0）處的切線方程；
（2）若函數f（x）有極小值，試求a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間[1，+∞）上，函數f（x）不出現(xiàn)在直線y=x-1的上方，試求a的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線的方程；
（2）求出導數，討論a=0，a＜0，a＞0，令g（x）=2ax²-2ax+1，（x＞0），結合二次函數的判別式和對稱軸，即可得到a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間[1，+∞）上，函數f（x）不出現(xiàn)在直線y=x-1的上方，即有x≥1時，f（x）≤x-1恒成立，即lnx+a（x-1）²≤x-1恒成立．令x-1=t（t≥0），即有l(wèi)n（1+t）+at²-t≤0恒成立．令h（t）=ln（1+t）+at²-t，求出導數，討論a=0，a＜0，a＞0，運用導數判斷單調性，結合恒成立思想即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=lnx+a（x-1）²的導數為f′（x）=

1

x

+2a（x-1），
函數f（x）在點P（1，0）處的切線斜率為1，
即有函數f（x）在點P（1，0）處的切線方程為y=x-1；
（2）由于f′（x）=

1

x

+2a（x-1）=

2ax2-2ax+1

x

，
當a=0時，f′（x）＞0，f（x）在R上遞增，無極值；
令g（x）=2ax²-2ax+1，（x＞0），
當a＞0時，由于對稱軸x=

1

2

＞0，又函數f（x）有極小值，
即有判別式大于0，即為4a²-8a＞0，解得a＞2；
當a＜0時，判別式4a²-8a＞0恒成立，且g（x）=0有一正一負根，
且正根為極大值點，則a＜0不成立．
綜上可得，a的取值范圍是（2，+∞）；
（3）若在區(qū)間[1，+∞）上，函數f（x）不出現(xiàn)在直線y=x-1的上方，
即有x≥1時，f（x）≤x-1恒成立，即lnx+a（x-1）²≤x-1恒成立．
令x-1=t（t≥0），即有l(wèi)n（1+t）+at²-t≤0恒成立．
令h（t）=ln（1+t）+at²-t，h′（t）=

1

1+t

+2at-1=

2at2+(2a-1)t

1+t

，
由于h（0）=0，h（t）≤h（0）恒成立，即有h（t）在t≥0上遞減，
當a=0時，h′（t）＜0，顯然成立；
當a＜0時，h′（t）＜0在t≥0恒成立；
當a＞0時，t≥0時，h′（t）≤0即為2at+2a-1≤0恒成立，
由于2at+2a-1≥2a-1，則a＞0不成立．
綜上可得，a≤0，即為a的最大值為0．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間和極值及最值，主要考查運用單調性求范圍，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵，屬于中檔題．