Question

6．矩形ABCD所在平面垂直于三角形ABE所在平面，AB=2AE=3，AD=2，∠ABE=30°，點F為線段BE靠近點E的一個三等分點，點P在線段CD上移動．
（Ⅰ）求證：平面PAE⊥平面BCE；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，當λ 為何值時，CF∥平面PAE；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）小題的條件下，求二面角P-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要證明AE⊥BC，AE⊥BE，即可證明AE⊥面BCE，而AE?面APE，從而可證平面PAE⊥平面BCE．
（Ⅱ）在直線AE上取點G，使得AG=2GE，連接PG，可證PCFG四點共面，由CF∥平面PAE，可證CF∥PG，可得PC和FG平行且相等，由PC=$\frac{1}{3}$CD，即可求得λ．
（Ⅲ）過P作AB的垂線，垂足為M，過M作BE的垂線，垂足為N，連接PN，可得PM⊥面ABE，又MN⊥BE，從而∠PNM為二面角P-EF-A的平面角，由余弦定理即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵AB=2AE，∠ABE=30°，
∴AE⊥BE．…（2分）
∵ABCD為矩形，
∴BC⊥AB．
又∵面ABCD⊥面ABE，AB為面ABCD與面ABE的交線
∴BC⊥面ABE，∴BC⊥AE．…（3分）
∵AE⊥BC，AE⊥BE，而BC與BE相交于點B，
∴AE⊥面BCE，而AE?面APE，
∴平面PAE⊥平面BCE．…（4分）
（Ⅱ）在直線AE上取點G，使得AG=2GE，連接PG，
∵BF=2EF，∴FG∥$\frac{1}{3}$AB，
∴PCFG四點共面．…（6分）
∵CF∥平面PAE，而面FCPG∩面PAE=直線PG，
∴CF∥PG，∴四邊形PCFG為平行四邊形，
∴PC和FG平行且相等．…（8分）
∴PC=$\frac{1}{3}$CD，所以λ=2．…（9分）
（Ⅲ）過P作AB的垂線，垂足為M，過M作BE的垂線，垂足為N，連接PN…10分
∵面ABCD⊥面ABE，AB為面ABCD與面ABE的交線，
∴PM⊥面ABE，又因為MN⊥BE，
所以∠PNM為二面角P-EF-A的平面角…12分
可求得：PM=2，MN=$\frac{1}{2}$，PN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
所以由余弦定理可得：cos∠PNM=$\frac{\sqrt{17}}{17}$…15分

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，余弦定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．