Question

11．如圖，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁與四棱錐A-BB₁D₁D的組合體，已知BB₁⊥平面BCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=4，AD=2，BB₁=1，設O是線段BD的中點．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）證明：平面AB₁D₁⊥平面ADD₁；
（3）求點D到平面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取B₁D₁的中點E，連接C₁E，OA，易證C₁EAO為平行四邊形，從而得而C₁O∥EA，利用線面平行的判定定理即可；
（2）可根據(jù)∠ABC=120°，AB=2，AD=4，證得∠ABD=$\frac{π}{2}$，即BD⊥AD，進一步可證BD⊥DD₁，從而證得BD⊥平面ADD₁，BD∥B₁D₁，于是得B₁D₁⊥平面ADD₁，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（3）利用等體積法，求點D到平面ABD₁的距離．

解答 （1）證明：取B₁D₁的中點E，連接C₁E，OA，則A，O，C共線，且C₁E=OA，
∵BCD-B₁C₁D₁為三棱柱，
∴平面BCD∥平面B₁C₁D₁，
故C₁E∥OA，
∴C₁EAO為平行四邊形，
從而C₁O∥EA，
又∵C₁O?平面AB₁D₁，EA?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）證明：∵∠ABC=120°，AB=4，AD=2，
∴BD=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AD²=16=AD²+BD²，∠ABD=$\frac{π}{2}$，
即BD⊥AD，
又BB₁⊥平面BCD，BD?平面BCD，BB₁⊥BD，
在三棱柱BCD-B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，則BD⊥DD₁，
而DD₁∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD₁，
又BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面ADD₁，
而B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ADD₁；
（3）解：由題意，△AD₁B中，AD₁=$\sqrt{5}$，AB=4，BD₁=$\sqrt{13}$，
∴cos∠D₁AB=$\frac{16+5-13}{2×4×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠D₁AB=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴${S}_{△AB{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}×\frac{2}{\sqrt{5}}$=4，
設點D到平面ABD₁的距離為h，則
$\frac{1}{3}×4h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×sin60°×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，考查點D到平面ABD₁的距離，著重考查面面垂直與線面平行的判定定理的應用，注意使用定理的嚴謹性，屬于中檔題．