Question

11．將下列函數(shù)按照奇偶性分類
①f（x）=x²，x∈（-1，1]；
②f（x）=$\frac{1}{x-1}$；
③f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{1-x}$
④f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；
⑤f（x）=$\frac{{|x}^{3}+x|}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$；
⑥f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$；
⑦f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x＞0}\\{x+1，x＜0}\end{array}\right.$
（1）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)的有⑦；
（2）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)的有⑤；
（3）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有①②③⑥；
（4）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的有④．（填相應函數(shù)的序號）

Answer 1

分析 奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，從而可以根據(jù)這些函數(shù)的定義域及奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義即可判斷每個函數(shù)的奇偶性．

解答 解：①定義域不關(guān)于原點對稱，∴該函數(shù)非奇非偶；
②該函數(shù)定義域為{x|x≠1}不關(guān)于原點對稱，∴非奇非偶；
③解$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{1-x≥0}\end{array}\right.$得，x=1，定義域不關(guān)于原點對稱，∴非奇非偶；
④解$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得，x=-1，或1；
∴f（x）=0；
∴該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
⑤解x²-1＞0得，x＜-1，或x＞1；
f（-x）=$\frac{|-{x}^{3}-x|}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=f（x）；
∴該函數(shù)為偶函數(shù)；
⑥x≠0時，滿足f（-x）=-f（x），但f（0）=1≠0；
∴該函數(shù)非奇非偶；
⑦設(shè)x＞0，-x＜0；
∴f（x）=x-1，f（-x）=-x+1=-f（x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
∴（1）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)的有：⑦；
（2）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)的有：⑤；
（3）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有：①②③⑥；
（4）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的有：④．
故答案為：（1）⑦（2）⑤（3）①②③⑥（4）④．

點評 考查函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域特點，以及根據(jù)定義判斷一個函數(shù)奇偶性的方法和過程，以及分段函數(shù)奇偶性的判斷．