Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx
（Ⅰ） 若f（x）≥0對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 求證：對(duì)任意的$n∈{N^*}，\frac{n+1}{{\root{n}{n!}}}＜e$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．e≈2.71828）

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用參數(shù)分離可得$a≥\frac{1+lnx}{x}$，令$g（x）=\frac{1+lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到a的范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1時(shí)，lnx≤x-1，則ln（1+x）≤x（當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），令$x=\frac{1}{i}（i∈{N^*}）$，得$ln（1+\frac{1}{i}）＜\frac{1}{i}$，再令i=1，2，…n，并累乘，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
所以ax-1-lnx≥0即$a≥\frac{1+lnx}{x}$，
令$g（x）=\frac{1+lnx}{x}$，由$g'（x）=\frac{-lnx}{x^2}=0$得x=1，

x	（0，1）	（1，+∞）
g'（x）	+	-
g（x）	↑	↓

因此g（x）_max=g（1）=1，所以a≥1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a=1時(shí)，ax-1-lnx≥0，即lnx≤x-1，
則ln（1+x）≤x（當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），
令$x=\frac{1}{i}（i∈{N^*}）$，得$ln（1+\frac{1}{i}）＜\frac{1}{i}$，
即$1+\frac{1}{i}＜{e^{\frac{1}{i}}}，{（\frac{i+1}{i}）^i}＜e$，
取i=1，2，…n，并累乘得$\frac{{{2^{1}}}}{1^1}•\frac{3^2}{2^2}•\frac{4^3}{3^3}…\frac{{{{（n+1）}^n}}}{n^n}=\frac{{{{（n+1）}^n}}}{n!}＜{e^n}$，
所以（n+1）ⁿ＜n!eⁿ，$\frac{{{{（n+1）}^n}}}{n!}＜{e^n}$即$\frac{n+1}{{\root{n}{n!}}}＜e$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得最值，同時(shí)考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和累乘法，屬于中檔題．