【題目】已知100條線段的長度集合,試求從這些線段中任取三條線段能夠構(gòu)成三角形的概率。

【答案】

【解析】

易知,,于是,所求問題轉(zhuǎn)化為:從1,2,…,100這100個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù),求其中兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的概率.事實(shí)上,從1,2,…,100中任取三個(gè)不同的數(shù),其不同的取法有種.下面求其中兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù).

先考慮一般情形:

設(shè)表示從1,2,…,個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)且其中兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù).易得,,……

在從1,2,…,個(gè)數(shù)中,任取三個(gè)數(shù)且其中兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù)為兩部分的和,即第一部分:最大數(shù)不大于,易知,這部分不同的取法有種;第二部分:最大數(shù)為,再從1,2,…,個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù),且這兩個(gè)數(shù)的和大于.

考慮從1,2,…,個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)的情形,具體如表1:

表1

較大的數(shù)

最小數(shù)的可能值

個(gè)數(shù)

2,3,…,

3,4,…,

4,…,

由此可知,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),第二部分的取法數(shù)為

.當(dāng)是奇數(shù)時(shí),第二部分的取法數(shù)為 .

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),得 .

.

.

因此,從這些線段中任取三條線段能夠構(gòu)成三角形的概率為.

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