【題目】設(shè)、為正整數(shù),表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明:對(duì)于任意,存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù),使得.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
通過(guò)遞歸構(gòu)造數(shù)列,使得該正整數(shù)數(shù)列的每一項(xiàng)均符合要求,并且對(duì)任何正整數(shù),均有嚴(yán)格整除.
先假設(shè)為的一個(gè)質(zhì)因子.則是奇數(shù).
故.
從而,.
于是,滿(mǎn)足要求.
其次假設(shè)已經(jīng)取好.
接下來(lái)考慮.
(1)若有一個(gè)質(zhì)因子,則.
所以,符合條件且被嚴(yán)格整除,取即可.
(2)若的質(zhì)因子均是的質(zhì)因子,則與的質(zhì)因子標(biāo)準(zhǔn)分解式中的質(zhì)數(shù)全部一樣,設(shè)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分解式為,.
由于(整體大于部分),故必存在某個(gè).
不妨設(shè).則,
且
.
因?yàn)?/span>,所以,中含的冪次大于或等于.
從而,.
因此,取符合要求.
由(1)、(2)及歸納原理,知可以構(gòu)造出數(shù)列.
從而,存在無(wú)窮多個(gè),…滿(mǎn)足要求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,個(gè)人收入的提高,自2019年1月1日起,個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整,調(diào)整如下:納稅人的工資、薪金所得,以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額,依照個(gè)人所得稅稅率表,調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表:
(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元,記表示總收入,表示應(yīng)納的稅,試寫(xiě)出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)某稅務(wù)部門(mén)在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入,并制成下面的頻數(shù)分布表:
①先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人,再?gòu)闹羞x4人作為新納稅法知識(shí)宣講員,用表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù),表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù),隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí),請(qǐng)你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐 中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.
(1)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:平面BDE;
(2)若點(diǎn)F在線段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲在4局以?xún)?nèi)(含4局)贏得比賽的概率;
(2)用X表示比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量X的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從左到右依次寫(xiě)出1到10000的全部正整數(shù),然后去掉那些能被5或7整除的數(shù),將剩下的數(shù)連成一排組成一個(gè)新數(shù)。試求:
(1)新數(shù)的位數(shù);
(2)新數(shù)被11除的余數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線上的點(diǎn)作斜率分別為,的直線,分別交拋物線于,兩點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程;
(2)若,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)均有,證明:存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)對(duì)(),使得.
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