【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為A,且橢圓E經(jīng)過與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C,D兩點,且直線AC和直線AD的斜率之積為.

I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

)求證:直線l過定點.

【答案】I;(II)證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)離心率,可得的關(guān)系,代入解析式,代入的坐標(biāo),即可求得,進而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(Ⅱ)設(shè)出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個不同的交點可知,利用韋達定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關(guān)于的方程,即可求得的關(guān)系,代入直線方程即可求得所過定點的坐標(biāo);也可將方程設(shè)為,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)有兩個不同的交點可知,利用韋達定理表示出,由直線AC和直線AD的斜率之積為可得關(guān)于的方程,化簡求得的值,即可求得所過定點的坐標(biāo).

I

橢圓E經(jīng)過點

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

II)方法一:的方程為,

設(shè),

聯(lián)立方程組,

化簡得,

解得,

.

,

,

化簡可得:

(舍),滿足

直線l的方程為,

直線l經(jīng)過定點

方法二:設(shè)l的方程為,

設(shè),

聯(lián)立方程組,

化簡得,

解得:,

,

,

化簡可得:

或者(舍)滿足

直線l經(jīng)過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知有窮數(shù)列共有,且.

1)若,,,試寫出一個滿足條件的數(shù)列;

2)若,,求證:數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是;

3)若,則所有可能的取值共有多少個?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四邊形為矩形, ,的中點,沿折起,得到四棱錐,設(shè)的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:

平面,且的長度為定值;

三棱錐的最大體積為;

③在翻折過程中,存在某個位置,使得.

其中正確命題的序號為__________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;

2)討論函數(shù)的零點個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說過:“數(shù)學(xué)家的造型,同畫家和詩人一樣,也應(yīng)當(dāng)是美麗的”;古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美;我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】高三學(xué)生為了迎接高考,要經(jīng)常進行模擬考試,鍛煉應(yīng)試能力,某學(xué)生從升入高三到高考要參加10次模擬考試,下面是高三第一學(xué)期某學(xué)生參加5次模擬考試的數(shù)學(xué)成績表:

模擬考試第x

1

2

3

4

5

考試成績y

90

100

105

105

100

1)已知該考生的模擬考試成績y與模擬考試的次數(shù)x滿足回歸直線方程,若高考看作第11次模擬考試,試估計該考生的高考數(shù)學(xué)成績;

(2)把這5次模擬考試的數(shù)學(xué)成績單放在5個相同的信封中,從中隨機抽取3份試卷的成績單進行研究,設(shè)抽取考試成績不等于平均值的個數(shù)為,求出的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列的前n項和為,且當(dāng)時,2m的等差中項為實數(shù).

1)求m的值及數(shù)列的通項公式;

2)令,是否存在正整數(shù)k,使得對任意正整數(shù)n均成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的周期為,圖象的一個對稱中心為.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.

1)求函數(shù)的解析式;

2)(理)求證:存在,使得,,能按照某種順序成等差數(shù)列.

3)(文)定義:當(dāng)函數(shù)取得最值時,函數(shù)圖像上對應(yīng)的點稱為函數(shù)的最值點,如果函數(shù)的圖像上至少有一個最大值點和一個最小值點在圓的內(nèi)部或圓周上,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,.

1)求證:;

2)若,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.

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